İSTATİSTİKSEL KARARIN YAPISI
Örnekleme yoluyla sağlanan bilgiden hareketle yeni bir Eğitim-Öğretim sisteminin eskisine kıyasla bir farklılık gösterip göstermediği; bir oto boyası üretiminde kullanılan kimyasal metotta yapılan bir değişikliğin mamulün kalitesini arttırıp arttırmadığı, yeni geliştirilen bir ilacın hastalığın tedavisinde etkili olup, olmadığı ve benzeri tip konularda karar verilmesi istenebilir.
Bahsi geçen konular olan Eğitim-Öğretim sistemi, yeni kimyasal yöntem ve yeni tip ilacın yeni verilerinin eski verilerine nazaran farklılık göstermesi olağan olabilir. Asıl önemli olan ortaya çıkabilecek farkların, istatistiksel açıdan anlamlı olup, olmadığını araştırılmasının gerekliliğidir. Diğer bir deyişle, bu farkların gerçekten mi yoksa rasgele seçimin sonucu olan örnekleme hatalarından mı meydana geldiğinin incelenerek istatistiksel kararın verilmesi gerekmektedir.
Sözü edilen kararın alınmasında; istatistik hipotezleri olarak adlandırılan hipotez tezleri kullanılmaktadır. Hipotezin ispatlanması ise test edilmesi olacaktır.
İstatistiksel testler, hipotezi; doğruladıklarında hipotez kabul edilecek aksi halde reddedilecektir.
HİPOTEZİN TANIMLANMASI VE KULLANILMASININ SEBEBİ
İstatistiksel hipotezlerin diğer hipotezlerden temel farkı, hipotezin bir frekans bölünmesiyle ilgili olmasıdır. Mesela “Belirli bir markayı taşıyan pillerin ortalama ömrünün 4,5 saat olduğu”nu ileri sürdüğümüzde bir hipotez önermiş oluruz. Bu hipotezin anlamı “normale uyan bir frekans bölünmesinin aritmetik ortalamasının 4,5 saate eş olduğu”dur.
Bir hipotezin ya “doğru” yada “yanlış” olacağı açıktır. Gerçeği öğrenme için akla gelebilecek ilk yol, hipotezle ilgili kitledeki bütün birimlerde değişken değerini öğrenmek yani “tamsayımı” yapmaktır. Ne var ki, daha önce de belirtildiği gibi bu yol çoğu zaman imkansızdır. Bunun yerine kitleden rasgele olarak seçilmiş belli bir örneklemdeki birimler incelenir ve bu örneklemden hareketle hipotezin geçerli olup olmadığı hakkında bir karara varmaya çalışılır.
Örneklem istatistiklerinden yararlanarak bir hipotezin geçerli olup olmadığını ortaya koyma işlemine istatistiksel hipotezlerin testi denir.
Farklı örneklemler farklı sonuçlar ortaya koyabildiğinden istatistiksel testin hipotezi tam ispat etmesi veya etmemesi gibi kesin bir durum söz konusu olamaz. Nitekim belirli bir markayı taşıyan pillerin ortalama ömrüyle ilgili hipotezin geçerliliğini incelemek için piller arasından aynı hacimli iki örneklem seçildiğinde söz gelimi birinci örneklemden 3 saatlik, ikinci örneklemden 4,7 saatlik bir ortalama elde edebiliriz.
Olasılık teorisi eğer hipotez doğruysa kitleden seçilecek örneklemlerden elde edilecek sonuçların genellikle hangi değerler arasında yer alacağını belirlediği için, istatistiksel testin hipotezin ne derece güvenle ret edilip edilmeyeceğini göstermesi mümkün olmaktadır.
Şimdi başka bir örnek ele alalım.
Bir deri fabrikasında üretilen A tipi bir Ayakkabı derisinin dayanıklılığının belirli bir kalitede olması gerekir. Belirli bir kalitede olmaması halinde ham Ayakkabı derisinin dayanıklılığı zayıf olacak hem de Ayakkabı imalatı sırasında çeşitli teknik sorunlar ortaya çıkacaktır.
İmalat sürecinde alınan çeşitli örneklemler üzerinde yapılacak kalite kontrolü sonunda farklı sonuçlar gözlenir. Çünkü dayanıklılık bir rasgele değişkendir ve örneklemden örnekleme değişen değerler alacaktır.
Öte yandan işletmecinin belirli bir parti ayakkabı üretiminde kullanılacak olan deri partinin ortalama dayanıklılığını araştırdığı, bu amaçla ölçümü 6 olan bir örneklemin alındığı ve , deri partisinin ortalama dayanıklılığını göstermek üzere,

olduğunu varsayalım. O halde olacağı varsayımı (hipotezi) kabul edildiğinde, dayanıklılık bu limitler dışında kaldığında hipotez reddedilecektir.
Buradaki karar yargısı u şekilde tanımlanır. N = 6 olan belli bir örnekleme için rasgele değişken seçilir ve bu değişkenin her olası değerine göre hipotez kabul yada reddedilerek karar verilir.
** Burada dikkat edilmesi gereken nokta gerek örneklem ölçümünün gerekse rasgele değişkeninin rasgele seçilmediğidir.
Özet olarak iplik dayanıklılığı ile ilgili karar verebilmek için , x med, x en büyük vb. rasgele değişkenlerden seçilecek olan herhangi birinden elde edilecek değerlere dayanarak deri dayanıklılığının önceden belirlenen ve “kabul bölgesi” olarak adlandırılan limitler arasında olup olmadığı araştırılacaktır. O halde, karar verme işlemi, rasgele değişkene, örneklem ölçüsüne ve kabul bölgesine dağlı kalarak yapılacaktır denilebilir.
HİPOTEZ TESTİNİN KULLANILMASININ SEBEBİ
Hipotez testinin ne amaçla kullanıldığını daha iyi açıklayabilmek için 4 ayrı hipotezi içeren durumları inceleyelim.
Durum 1: A ülkesindeki vatandaşların tüm kaynaklardan ortalama gelirleri 20 Milyon TL’sidir.
Durum 2: B ülkesindeki bir perakende bilgisayar satış mağazasındaki satış elemanlarının aylık ortalama komisyonu 140 Milyon TL’sidir.
Durum 3: C ve D firmaları tarafından seri üretilen otomobil camlarının dayanıklılığı aynıdır.
Durum 4: E ve F firmaları ürettikleri yük asansörlerinin yük taşıma kapasitesi 500 kg.dır.
Verilen bu dört konudaki hipoteze dayanarak, şu ortak özellikleri çıkarabiliriz.
I. A kümesindeki vatandaşların ortalama aylık gelirlerini belirlemek için her bireyle tek tek görüşmek hemen hemen imkansızdır. Aynı şekilde, bilgisayar satış elemanlarının komisyonlarının 140 milyon TL.si olup olmadığını tespit etmede her bir bilgisayar satıcısı ile görüşmek imkansız gibidir. Durum 3 ve 4’te de aynı zorluklar vardır.
II. Verilen hipotezlerin kabul yada ret edileceğinin belirlenmesi gerekir. Bu sebeplerden hareketle; tahminin geçerliliğini test etmek amacıyla her bir hipotez için kitlede örnekleme yaparak istatistiğini hesaplamak, hipotezin kabul yada red edilmesi için kesin karar kuralını temel alma zorunluluğu vardır.
Bir bilimsel hipotezin kurulup test edilmesinde dikkat edilecek başlıca 4 eleman vardır.
a. Sıfır Hipotezi (H0)
b. Test istatistiği
c. Ret etme bölgesi
d. Alternatif Hipotez
Bu dört elemanın tanımlanması belli bir testi oluşturur. Bunlardan biri veya fazlasının değiştirilmesi ile yeni testler elde edilebilir.
HİPOTEZ TESTİYLE İLGİLİ TEMEL KAVRAMLAR
Hipotez testini kavrayabilmek için temel kavramların iyi bilinmesi gerekir.
İstatistik Testi : Örnekleme değerlerini kullanarak, bir hipotezin geçerli olup olmadığını belirlemektir.
İstatistik Hipotez : İstatistik hipotezi kitle parametresinin durumu konusunda ileri sürülen bir ifade olarak tanımlanır.
Sıfır Hipotezi (Ho) : Genel olarak bir hipotezin “doğru yada yanlış” olduğu ispatlanamaz. Ancak rasgele değişkenin değerleri yardımıyla elde edilen bilgiler hipotezi desteklendiğinde HİPOTEZ REDDEDİLEMEZ denir.
Test edilecek hipotez genellikle BASİT HİPOTEZ yada SIFIR HİPOTEZ adını alır. Diğer bir ifadeyle; yeni bir konunun eski bir konuya nazaran üstün olmadığı, gözlemlenen aradaki farkın örneklemden ileri geldiği diğer bir deyişe; rasgele seçiminden oluştuğunun formülünü veren hipotezdir. Sıfır hipotezi H0 ile gösterilir.
Test yapılmasının mantığı daima veriler standart teoriyi çürütünceye kadar standart teorinin doğruluğuna inanmaktadır. Bu mahkemeye çıkarılan bir kişinin suçu ispatlanıncaya kadar sanık olmasıyla büyük benzerlik göstermektedir. Kişinin suçlu olduğunu gösterdikten sonra kişinin suçlu olduğuna karar verilir.
Bilimsel hipotezlerin test edilmesinde de aynı mantıkla hareket edilmektedir. Yeni ortaya atılan iddia yapılan deney ve toplanan veriler tarafından kanıtlanan kadar doğru değildir.
Alternatif Hipotez (HA) : Kitle parametrelerinin genelde aynı kaldığını ve bütün karar problemlerinde standart bir şekilde formüle edildiğini veren sıfır hipotezine karşın, verilecek kararın niteliğine göre farklı karar problemlerinde değişik şekillere göre formüle edilen hipoteze ALTERNATİF HİPOTEZ denir ve HA ile gösterilir.
BİR HİPOTEZ İLE GÜVEN ARALIĞI ARASINDAKİ FARK ŞUDUR:
Hipotez testi ile parametre için önceki değerin ne olduğu bilinir. Örnekleme istatistikleri kullanarak ve olasılık teorisinden faydalanarak test yaptığımızda önceki değerin ve yeni değerin kıyaslanması neticesinde hipotezin ret edilip, edilemeyeceği beklenir.
Güven aralıklarında ise, bir önceki değere sahip olmadan bir kitle parametresi tahminlenmektedir. Her hipotez testi bir çift hipotezi içermektedir. Bu edenle, bir sıfır ve bir alternatif hipotezin formüle edilmesi gerekmektedir. Önceden bilinen ve mevcut durumu veren değerler, sıfır hipotezi şekillendirmekte kullanılır.
** Bir örnekte tanımladığımız H0 ve HA hipotezini oluşturmaya çalışalım.
Türkiye ligi şampiyonu GS ve bu şampiyona meydan okuyan FB arasındaki bir futbol karşılaşmasını düşünelim. Bu durumda istatistikçilerin önerdiği sıfır hipotez (H0) şöyledir :
H0 : En iyi futbol takımı; Türkiye ligi şampiyonu olan takımdır. Bunun sebebi şampiyon takım, birçok futbol karşılaşmasını kazanmıştır. Dolayısıyla iyi bir başarı elde etmiştir.
Alternatif Hipotez (HA) : Meydan okuyan FB futbol takımının daha iyi bir futbol takımı olduğudur ve şekilde kurulur.
Ha : Meydan okuyan futbol takımı, mevcut şampiyona nazaran daha iyi bir takımdır.
Sıfır hipotezi (H0) olağan olan eskiden süre gelen bir tezi, diğer bir deyişle mevcut durumu savunmaktadır. Alternatif hipotez (Ha) ise, sıfır hipotezinin karşıtı olan bir durumu araştırmaktadır. Bu nedenle örnekteki meydan okuyan FB futbol takımının, şampiyonu yenmesi gerekmektedir. Anlaşılacağı gibi, ispatın sorumluluğu meydan okuyan FB futbol takımı maçı kazanır ve şampiyon olur. artık iki takımdan en iyisi şampiyon olan FB takımıdır. Bu durumda, sıfır ve alternatif hipotez şöyle ifade edilir.
H0 : Yeni şampiyon FB takımı en iyi futbol takımıdır.
Ha : Eski şampiyon daha iyi futbol takımıdır.
Bu örnekler üçüncü ve dördüncü maça yayılarak devam eder.
* Hipotez testlerinde hipotezler, örneğimizdeki gibi dikkatli bir şekilde kurulduktan sonra testi sonuçlandıracak olan istatistiği doğru biçimde tayin etmek lazımdır.
* Elde edilecek sonuçlar iki bölgeden birine düşecektir. Birisi kabul bölgesi, diğeri ret bölgesidir.
* Eğer test istatistiği ile bulduğumuz sonuç ret bölgesine düşerse H0 hipotezi ret edilir. Kabul bölgesine düşerse H0 hipotezi ret edilmez.

I. Tip ve II. Tip Hatalar
Bilmediğimiz örneklem parametresinin gerçek değeri karşısında ya; H0 doğrudur yada Ha. Çünkü bu iki hipotez, aynı anda her ikisi birden doğru olmayacak şekilde teşkil edilmiştir. Örnek değerlerine dayanarak H0’ın kabulü veya reddi söz konusu olacaktır. O halde, H0’ın doğruluk veya yanlışlığı bir kriter, H0’ın kabulü veya reddi de ikinci kriter olarak akla gelebilecek 4 durumu şöyle sıralayabiliriz.
(i) H0 hipotezi kitle parametresinin gerçek değeri karşısında doğrudur ve biz örnekleme sonucu H0’ı kabul ederiz. Burada bir hata söz konusu değil.
(ii) H0 hipotezi doğrudur, fakat örnek değerleri karşısında reddedilmiştir, yani aslında doğru olan bir hipotez yanlışlık yapılarak reddedilmiştir. Buna I. Tip hata adını veriyoruz.
(iii) Ho hipotezi yanlıştır ve reddedilmiştir. Burada bir hata söz konusu olmaz.
(iv) H0 hipotezi yanlıştır fakat örnek sonuçlarına göre kabul edilmiştir. Burada yapılan hataya da II. tip hata diyoruz.

Hipotez Testleri

Parametrik Testler

Tek örneklemli t-testi
İki bağımsız örneklemli t-testi
Eşlenik t-testi
Tek yönlü varyans analizi (ANOVA)
Korelasyon
Basit doğrusal Regresyon
Çoklu regresyon

Parametrik Olmayan Testler

Binom testi
Ki-kare uyum iyiliği testi
Ki-kare testi
Wilcoxon-Mann-Whitney testi
Kruskal Wallis testi
Wilcoxon işaretli sıra toplamı testi
Parametrik olmayan korelasyon testi